Hierbei sind k1 .. k4 Geschwindigkeitskonstanten für die Reaktionen (B.I)...(B.IV). Aus diesen Gleichungen ergibt sich die Summengleichung:
Dieses Modell wurde schon bei seiner Vorstellung 1967 [Prigogine, Lefever 1968] als physikalisch unrealistisch bezeichnet, weil der trimolekulare Schritt (B.II) in der Natur nicht denkbar ist. Man kann aus (B.V) leicht ersehen, dass X und Y hier als Katalysatoren fungieren, da sie sich in der Summengleichung herauskürzen. Es handelt sich hier um ein Fließgleichgewicht, weil während der Berechnung die Stoffmengen von A und B konstant gehalten werden und die Produkte D und E keine Rückwirkung auf das System haben.
Aus diesem Modell erhält man leicht Terme, die die Geschwindigkeit angeben, mit denen die Reaktionen abläuft:
Daraus ergeben sich die kinetischen Gleichungen für die Stoffmengenumsätze
und
durch Addieren und Subtrahieren:
(B.6) | |
|
(B.7)
|
Dieses DGS habe ich in ein Computerprogramm umgesetzt. Hierbei verwende
ich die Lösungsmethode, die ich in 3.1
angedeutet habe. Das Programm hat folgenden Aufbau (abgefasst in einer
algorithmische Pseudosprache, wie sie in einigen Artikeln in der Zeitschrift
,,Spektrum der Wissenschaft`` verwendet wird [Dewdney
1992b]):
1 X <-- X0
2 Y <-- Y0
3 A <-- A0
4 B <-- B0
5 wiederhole
6 nx <-- k1·A + k2·X2·Y - k3·B·X - k4·X
7 ny <-- k3·B·X - k2·X2·Y
8 X <-- X + nx·t
9 Y <-- Y + ny·t
10 zeichne X und Y
11 Ende wiederhole
In den Zeilen (Z.) 1-4 werden den Variablen die Startbedingungen
zugewiesen. Danach beginnt die Iteration durch eine Schleife (Z. 5-11),
die laufend wiederholt wird: zuerst werden die Stoffmengenänderungen
pro Zeiteinheit
und
mit den oben genannten Formeln (B.6) und (B.7) berechnet (Z. 6, 7). Danach
werden diese Änderungen mit dem Zeitintervall
dt multipliziert,
um die Zeit aus dem Nenner zu kürzen. Es bleiben dann nur die Stoffmengenänderungen
dx
und Y während
der Zeit t
stehen, die zu den alten X- und
Y-Werten addiert werden (Z.
8, 9). Je nachdem, ob nx bzw. ny positiv
oder negativ sind, erniedrigt oder erhöht sich dann die Stoffmenge
von X und Y. Danach werden die Werte auf dem Bildschirm ausgegeben (Z.
10). Wenn die Schleife das nächste Mal durchlaufen wird, sind die
eben berechneten Werte die alten und werden in die Rechnung eingesetzt.
Ich habe das gerade beschriebene Programm in der Programmiersprache Borland Delphi 5 (Objekt-Pascal für Windows, siehe Borland Homepage) umgesetzt. Es gibt folgende Graphen für den Brüsselator aus:
Eine eingehender Vergleich aller Rechenmodelle mit den Versuchsergebnissen
erfolgt in Abschnitt 3.2.4. Das beschriebene Programm befindet sich zusammen
mit den Programmen für die folgenden Rechenmodelle auf der beigelegten
CD-ROM. Die Bedienung wird in Anhang B beschrieben.