11.1.2 JORDAN-Inhalt

  • JORDAN-Inhalt: Für beschränkte (nicht-leere) Mengen $ M\subset\mathbb{R}^n$ sind der inner Inhalt $ \vert M\vert _i$ und der äußere Inhalt $ \vert M\vert _a$ definiert durch:

    $\displaystyle \vert M\vert _i:=\sup\limits_{S\in\mathcal{S}, S\subset M}\vert S...
...    \inf\limits_{S\in\mathcal{S}, M\subset S}\vert S\vert=:\vert M\vert _a. $

    Für die leere Menge setzt man $ \vert\varnothing\vert _i=\vert\varnothing\vert _a:=0$ .
    Eine Menge heißt quadrierbar/meßbar im Jordan'schen Sinne mit dem sog. Jordan-Inhalt $ \vert M\vert$ , wenn gilt:

    $\displaystyle \vert M\vert _i=\vert M\vert _a=:\vert M\vert $

  • JORDAN-Nullmengen: Mengen $ M\subset\mathbb{R}^n$ mit (äußerem) Inhalt $ \vert M\vert _a=0$ werden Jordan-Nullmengen genannt. Man sagt, dass eine Aussage fast überall gilt, wenn sie in allen Punkten, bis auf diejenigen aus einer Nullmenge gilt.
    Für Jordan-Nullmengen gilt:
    1. Jede Teilmenge einer Nullmenge ist ebenfalls Nullmenge.
    2. Jede endliche Vereinigung von Nullmengen ist wieder Nullmenge; insbesondere endliche Mengen $ M=\bigl\{ x_i \bigl\vert i\in\mathbb{N} \bigr.\bigr\}\subset\mathbb{R}^n$ .
    3. Jede in einem echten Untervektorraum von $ \mathbb{R}^n$ enthaltene beschränkte Menge $ M\subset\mathbb{R}^n$ ist Nullmenge.
      Beispiel: 2-dimensionale Flächen haben zwar ein 2-dimensionales Volumen (Flächeninhalt), aber kein 3-dimensionales.
    4. Ist $ M\subset\mathbb{R}^n$ kompakt und $ f:M\rightarrow\mathbb{R}$ eine stetige Funktion, so ist ihr Graph

      $\displaystyle G(f):=\bigl\{ \bigl(x,f(x)\bigr)\in\mathbb{R}^{n+1} \bigl\vert x\in M \bigr.\bigr\} $

      eine $ (n+1)$ -dimensionale Nullmenge.
    Endliche Mengen sind Jordan-Nullmengen. Abzählbar unendliche Mengen sind das nicht unbedingt.
    Ein Beispiel für eine abzählbar unendliche Menge, die Jordan-Nullmenge ist, ist die zu einer konvergenten Folge $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\rightarrow x$ gehörende Menge $ M:=\{ x_n: n\in\mathbb{N}\}$ . Jede Umgebung von $ x$ enthält zwar unendlich viele Punkte $ x_n\in M$ , aber es gibt (aufgrund der Trennungseigenschaft des $ \mathbb{R}$ ) Umgebungen um die $ x_n$ , die keine weiteren $ x_k\neq x_n$ enthalten. (???)
    Da bei der Definition des Jordan-Inhaltes nur endliche Verenigungen von Intervallen zugelassen sind, hat z.B. die abzählbare Menge $ X=\mathbb{Q}^n\cap[0,L]^n\subset\mathbb{R}^n$ den äußeren Inhalt $ \vert X\vert _a=L^n$ .
    Würden auch unendliche Intervallsummen zugelassen, so erhielte man etwa für jede abzählbare Menge $ A:=\{x_i: i\in\mathbb{N}\}$ :
    Jeder Punkt $ x_k\in M$ liegt für jedes $ \epsilon>0$ in einem Würfel $ I_k$ mit $ \vert I_k\vert=\epsilon2^{-nk}$ . Mit unendlichen Vereinigungen gilt also (geometrische Reihe):

    $\displaystyle \vert A\vert _a\leq{\sum\limits^{\infty}_{k=1}}\vert I_k\vert={\sum\limits^{\infty}_{k=1}}\epsilon2^{-nk}=\frac{\epsilon}{1-2^{-n}}. $

    Damit wäre also auch die oben definierte Menge $ X$ Nullmenge, da sie ja abzählbar ist.

  • Quadrierbarkeit I: Eine beschränkte Menge $ M\subset\mathbb{R}^n$ ist also genau dann quadrierbar, wenn es zu jedem $ \epsilon>0$ Intervallsummen $ S_\epsilon, S^\epsilon\in\mathcal{S}$ gibt, mit:

    $\displaystyle S_\epsilon\subset M\subset S^\epsilon,          \vert S_\epsilon\vert-\vert S^\epsilon\vert<\epsilon. $

  • Quadrierbarkeit II: Eine beschränkte Menge $ M\subset\mathbb{R}^n$ ist genau dann quadrierbar, wenn ihr Rand $ \partial M$ Nullmenge ist.

    Zum Beweis zeige man, dass $ \vert M\vert _i+\vert\partial M\vert _a=\vert M\vert _a$ . Also gilt $ \vert M\vert _i=\vert M\vert _a$ nur im Fall $ \vert\partial M\vert _a=0$ .

  • Lemma über den JORDAN-Inhalt beschränkter Mengen: Für beschränkte Mengen $ M,N\subset\mathbb{R}^n$ gilt:
    1. $ M\subset N     \Rightarrow     \vert M\vert _a\leq\vert N\vert _a, \vert M\vert _i\leq\vert N\vert _i$ .
    2. $ \vert M\vert _a=\vert\overline{M}\vert _a,     \vert M\vert _i=\vert M^\circ\vert _i$ .
    3. $ \vert M\cup N\vert _a\leq\vert M\vert _a+\vert N\vert _a$ .
    4. $ M^\circ\cap N^\circ=\varnothing     \Rightarrow     \vert M\cup N\vert _i\geq \vert M\vert _i+\vert N\vert _i$ .
    5. $ \lim\limits_{\epsilon\rightarrow0 }\vert U_\epsilon(M)\vert _a=\vert M\vert _a$ .
      Die $ \epsilon$ -Umgebungen von $ M$ approximieren also den äußeren Inhalt der Menge.
    Beispiel für eine nicht-quadrierbare Menge:

    $\displaystyle M:=\bigl\{ x\in[0,1]^2\subset\mathbb{R}^2 \bigl\vert x_i\in\mathbb{Q}, i=1,2 \bigr.\bigr\} $

    Dies ist die Menge aller im Einheitsquadrat des $ \mathbb{R}^2$ enthaltenen Punkte, deren Komponenten in $ \mathbb{Q}$ liegen. Man beachte, dass $ \mathbb{Q}$ dicht in $ \mathbb{R}$ liegt. Damit erhält man:

    $\displaystyle \vert M\vert _a=\vert\overline{M}\vert _a=\vert[0,1]^2\vert=1, \...
... M^\circ\vert _i=\vert\varnothing\vert _i=0     \Rightarrow      M $   ist nicht quadrierbar.$\displaystyle $

  • Für den Jordan-Inhalt gilt:
    1. Ist $ M$ quadrierbar, so gilt $ \vert M\vert=\vert M^\circ\vert=\vert\overline{M}\vert$ . Insbesondere ist auch jedes beschränkte offene, oder halboffene Intervall quadrierbar.
      Beweis-Idee: Es gilt $ \partial M=\partial M^\circ=\partial\overline{M}$ . Damit sind $ \circ$ und $ \overline{M}$ quadrierbar. Daraus leitet man dann leicht die z.z. Beziehung her.
    2. Für quadrierbare Mengen $ M,N\subset\mathbb{R}^n$ sind auch Vereinigung $ M\sup N$ , Schnitt $ M\cap N$ und Differenz $ M\backslash N$ quadrierbar.
      Beweis-Idee: Sei $ A$ eine der genannten Mengen. Dann gilt: $ \partial A\subset\partial M\cup\partial N$ , da $ \vert\partial M\vert=\vert\partial N\vert=0$ ist also auch $ \vert\partial A\vert=0$ und $ A$ damit quadrierbar.

  • Eigenschaften des JORDAN-Inhaltes: Für quadrierbare Mengen $ M,N\subset\mathbb{R}^n$ gilt:
    1. Monotonie: $ M\subset N     \Rightarrow     \vert M\vert\leq\vert N\vert$ .
    2. Subadditivität: $ \vert M\sup N\vert\leq\vert M\vert+\vert N\vert$ .
    3. Additivität: $ M^\circ\cap N^\circ=\varnothing     \Rightarrow     \vert M\cup N\vert=\vert M\vert+\vert N\vert$ .
    4. $ M\subset N     \Rightarrow     \vert N\backslash M\vert=\vert N\vert-\vert M\vert$ .

Administrator 2004-09-23
Home | Software | WEBdesign | Elektronik | Science | everythingelse | e-mail
last updated: 23.09.2004 © 2000-2003 by Jan Krieger