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3.2.4 Vergleich -- 3.3.2
Die Theorie zellulärer Automaten
3.3 Simulation der räumlichen Reaktion
3.3.1 Grundüberlegungen
Dieser Teil der Arbeit befasst sich damit, eines der eben beschriebenen
Modelle auf mehrdimensionale Systeme (Linie, Fläche, Raum) zu übertragen.
Dabei bildet man sog. Reaktions-Diffusions-Systeme mit den oben beschriebenen
Modellen. Dies bedeutet, dass nicht nur die chemischen Reaktionen die Stoffmengen
an einem bestimmten Punkt r des Raumes beeinflussen, sondern auch
die Diffusion, also der Stoffaustausch, mit dem Nachbarraum (Ausgleich
von Konzentrationsunterschieden auf einen Mittelwert). Physikalisch wird
die Diffusion durch das 2. Ficksche Gesetz beschrieben. Es lautet
nach [Gerthsen 1960]:
|
(RD.1) |
Die Konzentrationsänderung dc/dt ist also der zweiten Ableitung der
Stoffkonzentration c nach dem Raum r proportional (Proportionalitätsfaktor
D = Diffusionskonstante). Vereinfacht man dies für einen eindimensionalen
Raum (Linie), wie es in [Weimar
1997] und [Meinhardt 1995]
angegeben wird, so erhält man:
|
(RD.2) |
Dabei bedeutet cr die Stoffkonzentration an einem bestimmten
Raumpunkt r. Also ist die Konzentrationsänderung durch die
Diffusion
dem Mittelwert der Konzentrationsunterschiedezu den benachbarten Raumpunkten
proportional. Der Faktor 1/2 ist in D enthalten. Wenn man mit diesen
Erkenntnissen das grundlegende DGS aus 3.1
um die Diffusion erweitert, erhält man nach [Meinhardt
1995] formal:
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Die Theorie zellulärer Automaten
Inhalt & Layout: © 2000/2001 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de)
last updated: 04.08.2019 18:07:21
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