BZR - 3.3 Simulation der räumlichen Reaktion

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3.2.4 Vergleich -- 3.3.2 Die Theorie zellulärer Automaten

3.3 Simulation der räumlichen Reaktion

3.3.1 Grundüberlegungen

Dieser Teil der Arbeit befasst sich damit, eines der eben beschriebenen Modelle auf mehrdimensionale Systeme (Linie, Fläche, Raum) zu übertragen. Dabei bildet man sog. Reaktions-Diffusions-Systeme mit den oben beschriebenen Modellen. Dies bedeutet, dass nicht nur die chemischen Reaktionen die Stoffmengen an einem bestimmten Punkt r des Raumes beeinflussen, sondern auch die Diffusion, also der Stoffaustausch, mit dem Nachbarraum (Ausgleich von Konzentrationsunterschieden auf einen Mittelwert). Physikalisch wird die Diffusion durch das 2. Ficksche Gesetz beschrieben. Es lautet nach [Gerthsen 1960]:

$\begin{displaymath}\frac{dc}{dt}=D\frac{d^2c}{dr^2}\end{displaymath}$

(RD.1)

Die Konzentrationsänderung dc/dt ist also der zweiten Ableitung der Stoffkonzentration c nach dem Raum r proportional (Proportionalitätsfaktor D = Diffusionskonstante). Vereinfacht man dies für einen eindimensionalen Raum (Linie), wie es in [Weimar 1997] und [Meinhardt 1995] angegeben wird, so erhält man:

$\begin{displaymath}\frac{\Delta c}{\Delta t}=D\cdot [(c_{r-1}-c_{r})+(c_{r+1}-c_{r})]\end{displaymath}$

(RD.2)

Dabei bedeutet c_r die Stoffkonzentration an einem bestimmten Raumpunkt r. Also ist die Konzentrationsänderung durch die Diffusion $\frac{\Delta c}{\Delta t}$ dem Mittelwert der Konzentrationsunterschiedezu den benachbarten Raumpunkten proportional. Der Faktor 1/2 ist in D enthalten. Wenn man mit diesen Erkenntnissen das grundlegende DGS aus 3.1 um die Diffusion erweitert, erhält man nach [Meinhardt 1995] formal: $\begin{displaymath}\frac{\Delta X}{\Delta t}=f(X, Y, \ldots)+D_X\frac{\Delta ^2X......=g(X, Y, \ldots)+D_Y\frac{\Delta ^2Y}{\Delta r^2}; \qquad\ldots\end{displaymath}$

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